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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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8. Encontrar todos los $x \in[0 ; 2 \pi]$ tales que
a) $\operatorname{sen}(x)=-\frac{1}{2}$

Respuesta

Este ejercicio se resuelve exactamente igual que el anterior.


1. Buscamos en la circunferencia los valores de $x$ que cumplen dicha condición:


1.1. Definimos los cuadrantes:

El seno de $x$ es igual a $-\frac{1}{2}$ es negativo, así que los valores corresponden al tercer y cuarto cuadrantes.



1.2 Buscamos los valores de $x$: 

Al trazar una recta horizontal en $y = -\frac{1}{2}$, hallamos los puntos donde esta recta intersecta la circunferencia unitaria en los cuadrantes señalados:
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi$, como el valor en el cuarto cuadrante. 
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi$, como el valor en el tercer cuadrante. 




2. Revisamos que los puntos estén dentro del intervalo indicado:

$x_1 = -\frac{1}{6}\pi$ $\rightarrow$ ✘ (no entra en el intervalo) $x_2 = -\frac{5}{6}\pi$ $\rightarrow$ ✘ (no entra en el intervalo)

Como los valores no están dentro del intervalo $[0, 2\pi]$, voy a reescibir los valores de $x_1$ y $x_2$ de forma general, es decir, todas las soluciones infinitas posibles, agregándoles el término "$+ 2\pi k$"


2.1. Escribo las soluciones infinitas:

$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi k$ $x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi k$


2.2. Escribo el intervalo en función de las soluciones obtenidas:

Estamos trabajando con sextos de $\pi$, por lo que $[0, 2\pi] =$ $[0\cdot \frac{6}{6}, 2\cdot \frac{6}{6}]=$ $[0, \frac{12}{6}]$

Entonces, podeemos reescribir el intervalo como $[0, \frac{12}{6}]$



2.3. Evalúo las soluciones para diferentes valores de k:



-> Para los valores de $x_1$:


Con $k=0$ 
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 0$
-> $x_1 = -\frac{1}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)

Con $k=1$ 
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 1$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi$
-> $x_1 = \frac{11}{6}\pi$ ✔ (entra en el intervalo)

Con $k=2$ 
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 2$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 4\pi$
-> $x_1 = \frac{23}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)



-> Para los valores de $x_2$:


Con $k=0$ 
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 0$
-> $x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)

Con $k=1$ 
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 1$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi$
-> $x_2 = \frac{7}{6}\pi$ ✔ (entra en el intervalo)

Con $k=2$ 
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 2$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 4\pi$
-> $x_2 = \frac{19}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)



Por lo tanto, los valores de $x$ en $[0, 2\pi]$ que cumplen con $\text{sen}(x) = -\frac{1}{2}$ son: • $x = \frac{7\pi}{6}$ 
• $x = \frac{11\pi}{6}$


Solución: $\left\{ \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right\}$
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Avatar Bel 18 de mayo 19:05
Otra consulta, los valores de k deberían ir desde el 0 al 2 porque eso figura en el intervalo digamos o por qué serían esos valores? entiendo que k son la cantidad de vueltas pero no sé cuantas vueltas evaluar 
Avatar Julieta Profesor 20 de mayo 12:19
@Bel Hola Bel! Eso lo explico a detalle en el video "Como hallar $x$ en funciones trigonométricas". Miralo que seguro te va a aclarar todo el panorama
Avatar Bel 18 de mayo 18:50
Juli, -1/6 de pi y -5/6 de pi no entran en el intervalo [0,2 pi] porque son negativos, no? el intervalo debería estar expresado en negativo para que entren?
Avatar Julieta Profesor 20 de mayo 12:18
@Bel Hola Bel! Exacto! Para que entren esos dos valores también como solución del ejercicio el intervalo tendría que ser de [-pi; 2pi] por ejemplo.
Avatar Magdalena 8 de mayo 15:53
Holaa¡ como estas? puede ser que los q no entren tambein sean;-7/6 y -11/6?

Avatar Magdalena 8 de mayo 15:56
@Magdalena al -7/6+2pik, me termina dando 2,61, termina entrando en el intervalo igual, pero de todas formas nose si esta bien


Avatar Julieta Profesor 8 de mayo 15:58
@Magdalena Hola! Bien y vos? Esos no entran en el intervalo tampoco, porque son números negativos, y el intervalo solución solo considera los valores que van de $[0, 2\pi]$. 

Pero no sé de dónde sacaste esos valores🤔. Porque cuando evaluas $k=0$ para los valores de $x_1$ y de $x_2$ ambos te dan números negativos, así que no tiene mucho sentido buscar soluciones para valores negativos de $k$ (-1, -2, -3). 
Avatar Emilia 16 de octubre 14:29
Hola profe, yo cuando busque en la circunferencia los valores de x, lo hice de manera anti-horario, pero igual despues evalue las soluciones con distintos valores de k, es una manera valida de resolver el problema? 
Avatar Emilia Respuesta Correcta 16 de octubre 14:31
@Emilia adjunto una foto de como resolvi por si no me explique bien je2024-10-16%2014:31:19_2794981.png
Avatar Julieta Profesor 16 de octubre 15:03
@Emilia Emi, qué prolijidad hermosa! Sí, es exactamente lo mismo hacerlo en sentido horario o antihorario. 
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